香港新浪網 MySinaBlog
« 上一篇 | 下一篇 »
kafat | 27th Sep 2014 | 休閒 | (301 Reads)

筆者較早前介紹了3x3x3「超級扭計骰」的破解技法,現在我們把視線轉向5x5x5「超級扭計骰」。請注意本文雖然只討論一種「高階超級扭計骰」(nxnxn「超級扭計骰」,其中n > 3),但其破解原理其實可推廣至其他「高階超級扭計骰」。本文假設讀者已懂得破解5x5x5「普通扭計骰」的原理,如有需要,請參閱《群論與魔方:五階魔方及其還原攻略》

下圖展示一種5x5x5「超級扭計骰」的初始狀態(下圖乃取自Virtual Cubes Professor Cube | Picture Cubes | Orbit Cube網頁)

 圖1

1 

上圖所示的「超級扭計骰」稱為「軌道扭計骰」(orbit cube),每個小面上的數字是該小面所屬「軌道」(orbit)的編號,而每個小面上的字母則用來識別同一「軌道」上的不同小面。舉例說,上圖顯示5x5x5「超級扭計骰」共有七個「軌道」,其編號為「00」至「06」,紅色面上有4個小面屬於「03」軌道,為了識別這4個小面,故把它們標示為「A.03」、「B.03」、「C.03」和「D.03」。「軌道」此一概念對「扭計骰」來說很重要,因為任何小面都能而且只能移至屬同一「軌道」上另一小面的位置。以上圖為例,「A.03」小面可以移至「B.03」小面的位置,但不能移至「A.04」小面的位置。

以下把還原5x5x5「超級扭計骰」的過程分為若干個步驟,這些步驟大致對應著《群論與魔方:五階魔方及其還原攻略》中介紹的各個步驟。

I步:搞定首四個面的中心區

這一步的目標是選擇「超級扭計骰」的某四個面,並使每個面上的9個中心塊(這些中心塊合稱為「中心區」)歸位。為明確起見,我們假設這四個面是紅色面和黃色面(即圖1中的前面和右面)以外的四個面。完成這一步所需的技巧與還原5x5x5「普通扭計骰」的同一步驟基本相同,但由於「超級扭計骰」的每個小面上有獨特的圖案,完成「超級扭計骰」第I步的過程比完成「普通扭計骰」同一步驟受到較多限制。以下圖所示情況為例(為免分散讀者的注意力,下圖把與當前討論情況無關的小面一律塗成黑色)

 圖2

 2

在上圖中,我們假設正在處理藍色面,並已把兩個藍色小面「G.03」和「G.05」放在一起,現在需要找出第三個藍色小面並把它放在上圖中的「a」位置。請注意雖然下圖中有三個藍色小面(即「E.03」、「F.03」和「H.03」小面)可轉動至「a」位置,但只有把「H.03」小面放到「a」位置才符合「超級扭計骰」的初始狀態(請參見圖1)

不過,只要我們耐心找出每個小面所應放置的位置,並依循還原5x5x5「普通扭計骰」第I步的相同技巧,必能順利完成這一步。

IIa步:搞定第五個面的中心區

在完成第I步後,「超級扭計骰」應呈現以下狀態:

圖3 

 3

在上圖中,只有紅色面和黃色面的「中心區」尚未搞定。由於其餘四個面的「中心區」均已搞定,所有紅色和黃色中心塊均分佈在餘下這兩個面上。這一步的目標是從餘下這兩個面中選擇一個,並搞定這個面的「中心區」。為明確起見,我們假設選擇了黃色面。以下以圖3所示情況為例說明如何進行這一步。比較圖3與圖1,我們看到除了「I.00」中心塊外,其他黃色小面都不在正確的位置上,因此我們要設法把這些黃色小面移到黃色面的正確位置上。為此,我們引入一條「(XYZ)公式」,這裡X是「扭計骰」前面的一個位置,Y是「扭計骰」右面與X對應的位置,Z是順時針或逆時針旋轉「扭計骰」前面90度後X所到達的位置,其中XZ必須在不同的橫行上。「(XYZ)公式」的作用是把位於X的小面移到Y,把位於Y的小面移到Z,並把位於Z的小面移到X,數學家把上述這個循環記作(XYZ)。「(XYZ)公式」有兩種形式,若Z是順時針旋轉「扭計骰」前面90度後X所到達的位置,這條公式採取以下形式:

(1) Uxi R Uzi Ri Ux R Uz Ri

Z是逆時針旋轉「扭計骰」前面90度後X所到達的位置,則這條公式採取以下形式: 

(2) Uxi Ri Uzi R Ux Ri Uz R 

 在以上兩式中,RRi是下圖所示的「外表面旋轉」:

 

 4

UxUxiUzUzi卻並不等同於上圖所示的「外表面旋轉」UUi,而是代表「夾心層旋轉」,其中Ux代表對從上面向下數第x個夾心層進行順時針旋轉,Uxi則代表對從上面向下數第x個夾心層進行逆時針旋轉。例如下圖所示「夾心層旋轉」便可以表示為U1i

圖5 

 5

至於UxUxiUzUzi中的下標xz,則是代表XZ所在夾心層的序號(從上面向下數)

以下以圖3的情況為例說明上述公式的運用。比較圖3與圖1,我們發現要完成第IIa步,一個必要步驟是把圖3中的「K.03」中心塊移到「D.03」中心塊的位置,因此我們可以把X設定為「K.03」,把Y設定為「D.03」。至於Z,我們要看順時針或逆時針旋轉「扭計骰」前面90度後K.03所到達的位置。一方面,順時針旋轉90度後K.03」會到達「C.03」所在位置,而「C.03」與「K.03」處在同一橫行上,不符合作為Z的條件;另一方面,逆時針旋轉90度後K.03」會到達「L.03」所在位置,而「L.03」與「K.03」不處在同一橫行上,符合作為Z的條件;因此我們把Z設定為「L.03」。由於「K.03」和「L.03」分別位於第三和第一夾心層上,把31分別代入公式(2)中的xz,便得到:

U3i Ri U1i R U3 Ri U1 R 

 對圖3應用上式,可達致(K.03 D.03 L.03)的效果,即把「K.03」移去「D.03」所在位置,把「D.03」移去「L.03」所在位置,並把「L.03」移去「K.03」所在位置。利用上述公式把位置不正確的黃色「中心塊」逐一移入黃色面,終可完成第IIa步。

請繼續閱讀《5x5x5超級扭計骰破解技法(下)》