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kafat | 30th Aug 2014 | 休閒 | (5236 Reads)

早前我寫了一篇關於破解2×2×2「扭計骰」(又稱「魔方」)的博文(請參閱《三步破解2×2×2扭計骰(魔方)),也寫了用「群論」(Group Theory)來解釋「扭計骰」破解原理的網頁(請參閱《群論與魔方》)。以上這些文章都是針對「普通扭計骰」而寫的,「普通扭計骰」就是我們最常見到的那種「扭計骰」,這種「扭計骰」的特點是,每一個小面都塗上均勻分佈的顏色,但沒有圖案或符號。

學了破解3×3×34x4x45x5x5以至更高階「扭計骰」的方法後,我開始向更高的難度挑戰,把目光轉向「超級扭計骰」(supercube,亦稱「圖畫扭計骰」picture cube)。「超級扭計骰」的特點是,每一個小面上都有各不相同的不對稱圖案或符號。下圖展示某種3×3×3「超級扭計骰」的初始狀態(下圖乃取自Virtual Cubes Rubik's Cube | Picture Cubes | Orbit Cube網頁)

 

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上圖所示「超級扭計骰」的每個小面上均標示了一個字母和一個數字,該數字是該小面所屬「軌道」的編號,而字母則是用以識別同一「軌道」的不同小面,因此之故,這種「超級扭計骰」又稱為「軌道扭計骰」(orbit cube)。如果你想知道「扭計骰」的「軌道」究何所指,請參閱《群論與魔方:高階魔方的性質與公式》;否則只須把上圖中的字母和數字當作圖案看待便可以了。

本文將主要以上述「軌道扭計骰」為例介紹破解3×3×3「超級扭計骰」的技法。讀者將會看到,破解這種「超級扭計骰」的技法並不複雜,其實只是破解3×3×3「普通扭計骰」的技法加上兩條新公式而已。本文假設讀者已了解「扭計骰」的結構和一些術語,並對破解3×3×3「普通扭計骰」的方法已有一些認識,如有需要,請參閱本人《群論與魔方》系列的相關網頁。

跟「普通扭計骰」一樣,「超級扭計骰」6個中心塊的相對位置是確定的,在還原過程中我們無需處理它們的位置。雖然由於中心塊有不對稱的圖案,因而有方向之分,我們最終必須使所有中心塊朝向正確的方向,但這一點可以留待還原過程的第二階段才處理。在還原的第一階段,我們暫不理會6個中心塊上圖案的方向,這樣我們便可沿用「普通扭計骰」的還原方法,把「超級扭計骰」的12個邊塊和8個角塊逐一放到正確的位置並使之朝向正確的方向。

或許有人會問,「超級扭計骰」除了6個中心塊有圖案外,各個邊塊和角塊也有圖案,這些圖案會否令還原過程複雜化?其實不會,原因是邊塊和角塊本來便有方向之分。以上圖中的「前右上」角塊為例,這個角塊在還原後必須以紅色面向前、黃色面向右、藍色面朝上。另一方面,從上圖可見,只要這個角塊回到「前右上」位置並朝向上述方向,它三個面的圖案必然也朝向上圖所示的方向,沒有其他可能性。從以上討論可見,還原「超級扭計骰」的第一階段等同於還原「普通扭計骰」的過程。

完成第一階段後,「超級扭計骰」的所有角塊和邊塊均已搞定,但其中心塊的朝向卻可能不正確,這是「超級扭計骰」異於「普通扭計骰」之處。下圖展示完成第一階段後可能出現的情況:

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上圖所示的「超級扭計骰」看似搞定,但如把上圖與圖1細心比較,便會發現上圖有兩個中心塊(A.00I.00)朝向不正確的方向,其中A.00中心塊順時針旋轉了90度,I.00中心塊則逆時針旋轉了90(我們假設上圖中其餘三個看不到的面的中心塊均朝向正確方向)

為了糾正以上情況,我們引入兩條新公式。為方便讀者,以下提供FBRLUDFiBiRiLiUiDi12個動作的示意圖:

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在以下公式中,依附在某個字母後的n或某組字母後的x n (其中n代表某個整數)代表進行該()字母所代表的動作n次。

(1)  Li R Fi B Ui D Ln Di U Bi F Ri L (Ui) x n

上式的作用是把上面的中心塊逆時針旋轉90 x n,並同時把左面的中心塊順時針旋轉90 x n

 (2)  (U R L U2 Ri Li) x 2

上式的作用是把上面的中心塊順時針旋轉180度。

請注意在完成第一階段時,「超級扭計骰」的各個中心塊雖然有可能朝向不正確的方向,但它們的朝向不是任意的。如果我們把6個中心塊偏離正確方向的角度加起來,那麼所得總數必是180度的整數倍(請注意0也是整數)。以圖2所示情況為例,假如我們把「逆時針旋轉90度」視作等同於「順時針旋轉270度」,那麼該圖所示「超級扭計骰」6個中心塊偏離正確方向的角度總數是90 + 270 = 360度,而360度正是180度的2倍。

基於以上討論,我們可以推斷,利用上述兩條新公式,必可令「超級扭計骰」的6個中心塊最終全部朝向正確方向。以圖2所示情況為例,我們可以轉動整個「扭計骰」,使藍色面向前,紅色面朝上,黃色面向左。接著運用公式(1)(n設定為1),這樣做的結果是把紅色面的中心塊(A.00)逆時針旋轉90度,並同時把黃色面的中心塊(I.00)順時針旋轉90度,從而使這兩個中心塊重新朝向正確方向。

看到這裡,有些讀者可能提出疑問:以上的介紹是以「軌道扭計骰」作為範例,「軌道扭計骰」雖然加插了圖案,但它的六個面各自有相同的底色,在還原時我們可以根據顏色判斷哪個角塊/邊塊應屬於哪一個面。但我們知道,有一些「超級扭計骰」不是這樣,例如以下的「地球扭計骰」(earth cube)(下圖乃取自Virtual Cubes Rubik's Cube | Globes | Earth Cube網頁)

 

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上圖所示「地球扭計骰」的六個面全都是同一種底色,在還原時我們失去了一個重要參照,這是否代表「地球扭計骰」的還原技法比前述「軌道扭計骰」複雜?對於初玩者來說,「地球扭計骰」似乎比「軌道扭計骰」難玩,這是因為初玩者可能一時難以辨認哪個角塊/邊塊屬於哪一個面。一個解決方法是在擰亂「地球扭計骰」前,先記下這個「扭計骰」每個小面的圖案,以便在還原「扭計骰」時「看圖索驥」。舉例說,在記下上圖所示「地球扭計骰」每個小面的圖案後,我們便知道由以下三個小面組成的角塊應出現在「前右上」角落,並且圖5、圖6和圖7應分別向前、向右和朝上:

        

5                                     6

圖7

不過,除了上述辨認困難外,還原「地球扭計骰」所需的程序和公式(包括舊有公式和上述兩條新公式)跟還原「軌道扭計骰」其實沒有分別。從這個角度看,「地球扭計骰」與「軌道扭計骰」其實沒有太大差異,兩者實質上都是「超級扭計骰」的不同版本。