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kafat | 21st Oct 2013 | 學術 | (1106 Reads)
        Sine (中文譯作「正弦」,簡寫作sin)cosine (中文譯作「餘弦」,簡寫作cos)是兩個基本三角函數,我們由中二起便學習這兩個函數。Sinecosine最簡單的定義是直角三角形中兩條邊之間的比例,但隨著數學知識日益增加,我們對這兩個函數的認識也在不斷更新,以下讓我們看看從初中到大學本科低年級,我們對sinecosine的認識經歷了哪些轉變。

        如前所述,我們最初學習的sinecosine的定義是根據以下直角三角形的角x和三條邊來定義的:

 

    (1)

由於這兩個函數的定義是建基於直角三角形,所以把它們稱為「三角函數」(trigonometric function)是非常順理成章的。

        但上述定義只適用於角x為銳角的情況,當x大於或等於直角時,已不成其為直角三角形,上述定義無效。為了使sincos的定義能適用於任意角度,必須另闢蹊徑,為此我們引入「單位圓」(unit circle)的概念。單位圓是一個繪在笛卡爾坐標系上的圓,這個圓的圓心位於原點(0,0),半徑為1,如下圖所示:

從上圖中(1,0)這一點按逆時針方向繞圓心轉過某個角度θ,可以到達圓周上某一點P,因此我們可以在角度θ與圓周點P之間建立對應關係。現在設θ為銳角,這個θ對應著上圖第一象限內某圓周點P,並設P的坐標為(x,y),那麼我們可以繪出一個斜邊為1、鄰邊長度為x、對邊長度為y的直角三角形,此即上圖中的紅色三角形。利用sincos的定義(1),從上述紅色三角形容易得到sinθ = ycosθ = x。由此我們可以把sincos重新定義為:

             sinθ = θ所對應的圓周點Py坐標            

cosθ = θ所對應的圓周點Px坐標        (2)

由於上述定義是建基於單位圓,所以sincos又稱為「圓函數」(circular function)。有趣的是,除了「圓函數」外,數學上還有建基於單位雙曲線(unit hyperbola)的「雙曲函數」(hyperbolic function)。對應於兩個基本圓函數sincos,我們有兩個基本雙曲函數sinhcosh。請注意圓和雙曲線有一些共通點,兩者同屬圓錐曲線(conic section)

        定義(2)是對(1)的擴展,這個定義把sincos的定義域擴展至整個實數域。舉例說,由於π弧度(註1)對應於圓周點(1,0),根據(2),我們馬上得到sinπ = 0cosπ = 1。從(2)我們也可看到sincos是周期函數(periodic function),這是因為θθ ±對應同一個圓周點,所以sincos的函數值每弧度循環一次。

        學了數學分析和微分方程後,我們對sincos又有新的認識。在求解二階常係數齊次微分方程時,若其輔助方程有實數解,該微分方程的通解具有「指數函數」(exponential equation) ex的形式;若其輔助方程沒有實數解,則該微分方程的通解具有「圓函數」sinxcosx的形式,由此我們看到「圓函數」與「指數函數」存在某種聯繫。另外,由於簡諧運動(simple harmonic motion)的微分方程

x''(t) = –px    (其中p是正實數)        (3)

輔助方程r2 + p = 0正是沒有實數解的二次方程,所以(3)的通解具有以下圓函數的形式:

x(t) = Acos(ωt – φ)        (4)

上述結果是合理的,因為簡諧運動是一種循環往復的運動,例如以下負重彈簧的運動:

而圓函數是周期函數,其函數值每經過一個周期循環一次,因此正好代表簡諧運動。上述例子說明,圓函數可以用來代表各種循環往復的物理現象及其他現象,在科學上有廣泛的應用。

        從數學分析我們得知:

sin'x = cosx      cos'x = –sinx        (5)

由以上兩式我們進一步得知:

sin''x = –sinx      cos''x = –cosx        (6)

現在我們把(6)中的兩個等式抽象為以下微分方程:

f''(x) = –f(x)        (7)

(7)的通解是

f(x) = Asinx + Bcosx      (其中AB是任意常數)        (8)

從以上事實我們可以得出結論,sincos (及其線性組合)是具有以下特點的函數:這個函數等於其二階導數的負。如果把二階導數(second order derivative)運算看成一個線性算子D2,即把(7)改寫成

D2f = –f        (9)

那麼我們亦可以說,sincos (及其線性組合)D2的特徵函數(eigenfunction),而–1則是D2的特徵值(eigenvalue),這是對sincos更深刻的認識。

        Sincos在複數域也有廣泛的應用。複數本質上是一種由二維數組組成的特殊數域(這個數域須滿足方程i2 = –1),可以用平面上的點代表。舉例說,下圖中紫紅色線在第一象限內的端點便代表某個複數,這一點有兩種坐標:笛卡爾坐標(x,y)和極坐標(r,θ)

利用笛卡爾坐標,這個複數可以表示為x + iy;利用極坐標和三角函數的定義(1),這個複數也可以表示為r(cosθ + isinθ),請注意後一種表示法能大大方便複數的乘除、求冪和求根運算。
         筆者在前面曾提過「指數函數」與「圓函數」在解微分方程時存在一些聯繫,其實這兩種函數有更深刻的關係。為看清這種關係,首先把這些函數表示為泰勒級數(Taylor series)

        (10)

        (11)

        (12)

現在如果在(10)中用ix代替x,並利用i2 = –1此一關係,我們可以得到以下結果:

eix = cosx + isinx        (13)

上式在數學上稱為歐拉公式(Euler’s formula),此公式的特點是把「圓函數」與「指數函數」聯繫起來。如果用π代入上式中的x,並利用前面求得的結果,我們便得到以下結果:

e + 1 = 0        (14)

上式在數學上稱為歐拉恆等式(Euler’s identity),這是數學上最美妙的公式,因為它把數學上五個最重要的常數:e (即自然對數的底)i (即虛數單位)π (即圓周率)1 (即乘法單位元)0 (即加法單位元)串聯起來。

        最後要指出,利用歐拉公式以及有關雙曲函數sinhcosh的知識,我們還可以把圓函數(以及雙曲函數)的定義域進一步推廣至整個複數域(請注意複數域包含實數域),但本文不擬介紹這方面的細節。

        以上討論顯示,我們對sincos的認識不斷深化。這兩個函數不僅是只可定義於銳角的三角函數,而且還是可定義於整個複數域的圓函數、可用來模擬循環往復現象的周期函數、二階導數運算的特徵函數、某種複數表達法的組成部分,並且與指數函數存在微妙關係。由此我們看到,學習數學必須有開通的思想,如果只是宥於一種定見,我們便只能把sincos看成三角比,看不見這兩個函數原來可以用於廣闊的數學領域。


註1:本文使用弧度制(radian)表達角度,請注意π弧度相當於180°,弧度則相當於360°,其餘類推。