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kafat | 12th Mar 2010 | 休閒 | (226 Reads)

第三步:使頂層已歸位的四個角塊朝向正確方向

        這一步主要是把有待修正的角塊置於「前右上」角落,然後重複使用前述的(1)(重列於下)

(1)  Ri Di R D

現在讓我們來看為何上述方法可達致所需效果,我們把位於「前右上」角落的角塊最終搞定時的狀態記作「XYZ」。根據「定理1」,在進行(1)前,該角塊只有三種可能狀態:(i)「正常」(即「XYZ)(ii)「順時針扭轉」(即「ZXY)(iii)「逆時針扭轉」(即「YZX)

        在情況(i)下,根本無需進行任何動作。在情況(ii)(iii)下,根據「定理3」,只要分別進行(1)兩次和四次,便可把該角塊搞定。如果我們用數字012分別作為「正常」、「順時針扭轉」和「逆時針扭轉」角塊的「扭轉數」,那麼對頂層每個角塊所須進行(1)的次數便剛好等於該角塊「扭轉數」的兩倍。而根據「定理2」,在第三步開始前頂層各角塊「扭轉數」的總和必然是3的倍數,由此可知在第三步中所須進行(1)的總次數必然是6的倍數。

        可是,如前所述,除了「前右上」角落外,(1)還會影響「前右下」、「後右下」和「後左下」這三個角落。事實上,在進行第三步的過程中,我們會發現(1) 起初會打亂原已搞定的底層三個角塊的位置和方向,但最終它們又會神奇地回復原狀,以下解釋箇中奧妙。

        根據「定理3」和「定理4」,每次進行(1)都會把「前右上」和「前右下」角落上的角塊對調位置,並且把「後右下」和「後左下」角落上的角塊對調位置。如前所述,對於每個有待修正的角塊,我們只須進行(1)二次或四次後便可把它搞定;而根據前述兩個定理,進行(1)偶數次後,原來在「前右下」、「後右下」和「後左下」角落的角塊必會返回開始時的位置,所以第三步的過程最終不會改變這三個角塊的位置。

        此外,從「定理3」和「定理4」容易推斷,每逢進行(1)六次後,「前右下」、「後右下」和「後左下」這三個角落上的角塊就會同時回復開始時的方向;而前面說過,第三步中所須進行(1)的總次數必然是6的倍數,因此在完成第三步時,上述三個角塊必會回復開始時的方向。綜上所述,第三步的過程雖然起初會打亂上述三個角塊,但在完成第三步時,它們必會回復開始時的位置和方向。


定理1:設某一角塊的最初狀態為「XYZ」,經任意扭動「扭計骰」後,該角塊的狀態只有以下三種可能:「XYZ」、「ZXY」和「YZX」。

定理2如果用數字012分別代表「正常」、「順時針扭轉」和「逆時針扭轉」的角塊(以下把這個數字稱為「扭轉數」),那麼把八個角塊的「扭轉數」加起來的總數必然是3的倍數(包括0)

定理3(1)把「前右上」角落的「XYZ」角塊變成「前右下」角落的「ZXY」,並且把「前右下」角落的「XYZ」角塊變成「前右上」角落的「ZXY」角塊。

定理4(1)把「後右下」角落的「XYZ」角塊變成「後左下」角落的「XYZ」,並且把「後左下」角落的「XYZ」角塊變成「後右下」角落的「ZXY」角塊。

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