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kafat | 11th Mar 2010 | 休閒 | (1223 Reads)

        我在《三步破解2×2×2扭計骰(魔方)一文中介紹了破解「2×2×2扭計骰」的攻略,本文將解釋上述攻略背後的原理。在閱讀本文前,請先細心了解上述攻略。

        在破解「2×2×2扭計骰」的過程中,我們常會遇到以下情況:某一角塊已經歸位,但方向不正確,以下把這種情況稱為「扭轉」。角塊的「扭轉」對於破解「扭計骰」來說是十分重要的概念,為準確定義「扭轉」,必須引入「主色」的概念以及角塊狀態的命名法。

        在開始還原「扭計骰」前,我們先要選定一種顏色作為底面色(例如綠色),隨之也就確定了頂面色(例如藍色),我們把這兩種顏色統稱為「主色」,請注意任一角塊必然包含剛好一個「主色」。

        由於每個角塊都由三個不同顏色的面(前/後、左/右、頂/底)組成,我們可以用這些顏色命名角塊的狀態,但如何排列角塊的顏色?以下提供一種方法。在「扭計骰」的六個面上共有12條對角線,如把能被這些對角線相連的角落歸為一組,便可把八個角落分為兩組:第一組包括「前右上」、「前左下」、「後左上」和「後右下」;第二組包括「前左上」、「前右下」、「後右上」和「後左下」。對於位處第一組的角塊,我們用該角塊的「前/後面色-頂/底面色-左/右面色」命名該角塊的狀態;對於位處第二組的角塊,我們用該角塊的「左/右面色-頂/底面色-前/後面色」命名該角塊的狀態。按照上述命名法,位於下圖中「前右上」角落的角塊便應命名為「藍黃紅」;而位於下圖中「前右下」角落的角塊則應命名為「黃綠紅」。

        有了以上的概念,我們便可以定義角塊的「扭轉」情況。對於任一角塊而言,如果它的「主色」出現於其名稱的中間位置,這個角塊就是「正常」(correct)(即沒有「扭轉」);如果它的「主色」出現於其名稱的第一位置,它就是「逆時針扭轉」(clockwise)的;如果它的「主色」出現於其名稱的第三位置,它就是「順時針扭轉」(counter-clockwise)的。按照上述定義,上圖中的「藍黃紅」角塊是「逆時針扭轉」,而「黃綠紅」角塊則是「正常」的。

        你也可以用下圖幫助判斷各個角塊的「扭轉」情況(下圖從左到右標出所有「正常」、「逆時針扭轉」和「順時針扭轉」的角塊;下圖用深灰色代表「主色」)

        數學家發現以下兩個有關上述概念的重要定理。

定理1:設某一角塊的最初狀態為「XYZ」,經任意扭動「扭計骰」後,該角塊的狀態只有以下三種可能:「XYZ」、「ZXY」和「YZX」。

定理2如果用數字012分別代表「正常」、「順時針扭轉」和「逆時針扭轉」的角塊(以下把這個數字稱為「扭轉數」),那麼把八個角塊的「扭轉數」加起來的總數必然是3的倍數(包括0)

        以下逐個步驟解釋「2×2×2扭計骰」攻略的原理。

第一步:使底層的四個角塊歸位並且朝向正確方向

        這一步主要利用以下動作序列:

(1)  Ri Di R D

只要拿「扭計骰」試一試,不難發現(1)只會對「前右上」、「前右下」、「後右下」和「後左下」這四個角落產生影響。因此,在進行(1)前,我們總是先把「第二角塊」放在「前右下」角落,設法把它弄上「前右上」角落並且朝向正確方向。而在這過程中,較早前已搞定的角塊被放在頂層其他位置,所以不會被搞亂。

        以下仔細看看(1)對上述四個角落有何影響。如用XYZ分別代表某一角塊名稱中第一、第二、第三位置上的顏色,那麼我們可以把(1)的作用總結成以下兩個定理。

定理3(1)把「前右上」角落的「XYZ」角塊變成「前右下」角落的「ZXY」,並且把「前右下」角落的「XYZ」角塊變成「前右上」角落的「ZXY」角塊。

定理4(1)把「後右下」角落的「XYZ」角塊變成「後左下」角落的「XYZ」,並且把「後左下」角落的「XYZ」角塊變成「後右下」角落的「ZXY」角塊。

        舉例說,對上圖中的「扭計骰」進行(1)後,原在「前右上」角落的「藍黃紅」角塊便會移至「前右下」角落,並且變成「紅藍黃」角塊;而原在「前右下」角落的「黃綠紅」角塊則會移至「前右上」角落,並且變成「紅黃綠」角塊。

        接著便可以解釋為何第一步可達致所需效果。我們把「第二角塊」最終搞定時的狀態記作「XYZ」,那麼根據前述「定理1」,該角塊最初位於「前右下」角落時的狀態只有三種可能:「XYZ」、「ZXY」或「YZX」。根據「定理3」,在這三種可能情況下,只需分別進行(1)三次、五次和一次便可搞定「第二角塊」。舉例說,設「第二角塊」的初始位置和狀態為「前右下」角落和「XYZ」,第一次進行(1)後,它的位置和狀態變成「前右上」角落和「ZXY」;第二次進行(1)後,它的位置和狀態變成「前右下」角落和「YZX」;第三次進行(1)後,它的位置和狀態變成「前右上」角落和「XYZ」,任務完成。

        如果開始時「第二角塊」是位於「前右上」角落,那麼該角塊的狀態也只有上述三種可能,這時只要進行(1)一次,便可使該角塊移至「前右下」角落,而該角塊的可能狀態仍然是前述三種。因此接下來只要進行(1)一次、三次或五次,便可搞定「第二角塊」。

留言(5) | 引用(0) | 話題(玩具)

[1]

周老師,您好!
很高興在這個新浪網博文天地,見到周老師的大作。
在下對扭計骰是一竅不通的,不過在下倒能欣賞這篇博文。
雖然暫時未有時間仔細看,但在下對這篇博文,不知為甚麼,好像是很有信心,藉這一篇博文,可以學識解2x2x2的扭計骰的。
在下的學習能力是很低的,很缺乏效率的,是比較慢熱的(不知是不是形成的風格或稱惡習)。
在下雖然還未曾弄懂這篇文章的內容,但隱約都能發出一些疑問的。
在下認同定理一和定理二是兩個定理,可是定理三和定理四,以在下的最膚淺的印象(不敢說成理解),比較不像兩條定理。反而稍前的兩句----(1)只會對「前右上」、「前右下」、「後右下」和「後左下」這四個角落產生影響。 更像是一條定理。
現在還未有時間仔細閱讀。有了這一篇文章的指引後,學習破解"2x2x2"都應是時候了,目標是在今年的七月之前必須要抽出時間,詳細看一看有關周老師的破解"2x2x2"方面的數學文章。
謝謝分享!
九連沉迷者兼初中數學趣題「發燒友」
erauqscme

Log
[引用] | 作者 Log | 16th Mar 2010 | [舉報垃圾留言]

[2] 「定理」與「命題」

謝謝Log君支持,也謝謝Log君指出拙文中對「定理」一詞用法的偏差。根據一般數學書的慣例,拙文中的「定理3」和「定理4」的確不太像「定理」,把它們稱為「命題」(Proposition)似較為恰當(我習慣不區分「定理」、「引理」、「推論」、「命題」等等,把這些統統稱為「定理」)。

kafat
[引用] | 作者 kafat | 16th Mar 2010 | [舉報垃圾留言]

[3] 轉載此博文申請

周老師,您好!
在下發現以下很有價值的教育玩具博文,登出將近一年了,在下想在它們登出剛滿一周年時,轉載過在下於內地的新浪網,讓內地實物操作型智力遊戲愛好者,也可以分享好文章。
如蒙閣下「開綠燈」,在下會在標題和其他當眼處列分別出作者名和出處的。在下還希望連同評論文字一起轉載了。
(1) 2×2×2扭計骰(魔方)攻略揭秘(上)(2010-03-11)
(2) 三步破解2×2×2扭計骰(魔方) (2010-02-24)
謝謝關注!
九連環沉迷者兼平面幾何學初等證明題愛好者
erauqscme


[引用] | 作者 erauqscme | 26th Feb 2011 | [舉報垃圾留言]

[4] 歡迎轉載

歡迎轉載,多謝支持。


[引用] | 作者 kafat | 28th Feb 2011 | [舉報垃圾留言]

[5] 二階魔方及其還原攻略

本人最近已重寫2x2x2扭計骰還原攻略的解析,有興趣的讀者請參閱以下網頁:

http://chowkafat.net/Rubik9.html

 


[引用] | 作者 kafat | 14th Nov 2013 | [舉報垃圾留言]