最近有位朋友問我以下命題怎樣用「數學歸納法」證：對所有正整數m、n而言，若n可被m整除(Divisible)，則2^n - 1可被2^m - 1整除。

 我沒有認真考慮如何用「數學歸納法」證以上命題，因為我的直覺是它不一定要用「數學歸納法」來證，而只需用一條簡單的公式便可證得。以下是我的證法：

由於n可被m整除，故設n = km (k為正整數)。接著我們要證2^km - 1可被2^m - 1整除，即(2^km - 1) / (2^m - 1)是整數。用「長除法」(Long Division)除一除便知這是除得盡的。不過「長除法」不是好的證明方法，所以我們還得用以下有關「幾何級數」(Geometric Series)總和的公式：a + ab + ab^2 + ab^3 + ... ab^(p - 1) = a (1 - b^p) / (1 - b)。把上式跟(1 - 2^km) / (1 - 2^m)對照一下，便得a = 1，b = 2^m，p = k，故得(1 - 2^km) / (1 - 2^m) = 1 + 2^m + 2^2m + 2^3m + ... 2^m(k - 1)。這顯然是一個正整數，故以上命題得證。

 其實我不是太喜歡「數學歸納法」的證明方法，尤其是對某些公式的證明，因為「數學歸納法」是一種「非構造性證明」(Non-constructive Proof)，公式證明是對了，但卻仍然不明白那公式是如何得來的。所以如果可以選擇，我寧可用其他方法證明。不過數學上不是所有東西都能用「構造性證明」便容易證得的，在迫不得已時還是要用「數學歸納法」。